Concours ENSA 2022 Mathématiques

Question 1

Sachant que 11x11 = 121, le produit 111111111 x 111111111 est égal à :

A) 1234567654321 B) 123456787654321 C) 12345678987654321 D) 1234568654321

Question 2

Le nombre de diviseurs positifs du nombre 546x840 est :

A) 180 B) 181 C) 182 D) 183

Question 3

Soit f : IR → IR. La négation de la proposition « f est la fonction nulle » est :

A) ∀x ∈ IR, f(x) > 0 B) ∀x ∈ IR, f(x) ≠ 0 C) ∀x ∈ IR, f(x) = 0 D) ∃x ∈ IR, f(x) ≠ 0

Question 4

La solution de l'équation à variable réelle x : \(\ln(x^2 - 1) - \ln(2x - 1) + \ln 2 = 0\) est :

A) \(\frac{1+7\sqrt{3}}{2}\) B) \(\frac{1+\sqrt{3}}{2}\) C) \(\frac{1-\sqrt{3}}{2}\) D) \(\frac{1+3\sqrt{3}}{2}\)

Question 5

La valeur maximale des termes \(u_k = C_{22}^{k} \times 20^{22-k} \times 21^k\) dans le développement du nombre \((20 + 21)^{22}\) par la formule du Binôme de Newton est atteinte pour k égal à :

A) 8 B) 9 C) 10 D) 11

Question 6

\[ \lim_{n \to +\infty} \sqrt[n]{n^2} = \]

A) 1 B) 0 C) \(+\infty\) D) \(e\)

Question 7

\[ \lim_{n \to +\infty} \left( n - \sqrt{(n+5)(n+7)} \right) = \]

A) 0 B) -6 C) 6 D) \(+\infty\)

Question 8

Soient a et b deux réels; la fonction f définie par: \[ f(x) = \begin{cases} \frac{\ln(1+x)-x}{x^2} & \text{si } x > 0 \\ ax+b & \text{si } x \leq 0 \end{cases} \] est continue en 0 si :

A) a ∈ IR et b = 2 B) a = 0 et b = 1 C) a = -1/3 et b = 1/2 D) a ∈ IR et b = -1/2

Question 9

La dérivée de la fonction \( f(x) = \frac{\sqrt{x-1}}{(\sqrt[3]{x+2})^2 (\sqrt{x+3})^3} \) est :

A) \(\frac{5x^2-x-12}{\sqrt{x-1} (\sqrt[3]{x+2})^5 (\sqrt{x+3})^5}\) B) \(\frac{3x^2+x-24}{\sqrt{x-1} (\sqrt[3]{x+2})^5 (\sqrt{x+3})^5}\) C) \(\frac{2x^2+x-24}{2\sqrt{x-1} (\sqrt[3]{x+2})^5 (\sqrt{x+3})^5}\) D) \(\frac{5x^2+x-24}{3\sqrt{x-1} (\sqrt[3]{x+2})^5 (\sqrt{x+3})^5}\)

Question 10

Soit \( f : [0,+\infty[ \rightarrow [0,+\infty[ \) définie par \( f(x) = xe^x \). L'équation de la tangente à la courbe \( f^{-1} \) au point d'abscisse e est :

A) \( y = \frac{1}{2e}x + \frac{1}{2} \) B) \( y = \frac{1}{e}x + \frac{1}{2} \) C) \( y = \frac{1}{2e}x + 1 \) D) \( y = \frac{1}{e}x - 1 \)

Question 11

\[ \int_{0}^{1} \frac{1 - x^2}{1 + x^2} \, dx = \]

A) \(\frac{\pi}{2}\) B) \(\frac{\pi}{2} - 1\) C) \(-1 + \frac{\pi}{4}\) D) \(-1 - \frac{\pi}{4}\)

Question 12

Soit l'intégrale \( I_n = \int_{-1}^{1} (x^2 - 1)^n \, dx \). La valeur de \( I_4 \) est:

A) \(\frac{252}{315}\) B) \(\frac{254}{315}\) C) \(\frac{258}{315}\) D) \(\frac{256}{315}\)

Question 13

\(\cos(\frac{\pi}{16})\) est égal à :

A) \(\frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{2 - \sqrt{2}}}\) B) \(\frac{1}{2}\sqrt{2 - \sqrt{2 + \sqrt{2}}}\) C) \(\frac{1}{16}\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}\) D) \(\frac{1}{2}\sqrt{2 + \sqrt{2 + \sqrt{2}}}\)

Question 14

La formule algébrique du nombre complexe \(\left(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\right)^{2023}\) est :

A) \(\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\) B) \(-\frac{1}{2} + i \frac{\sqrt{3}}{2}\) C) \(\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\) D) \(-\frac{\sqrt{3}}{2} + i \frac{1}{2}\)

Question 15

Soit le nombre complexe \( z = \sqrt{3} + i \), alors \( z^5 \) est égal à :

A) \(z̄\) B) \(-8z̄\) C) \(-16z̄\) D) \(16z̄\)

Question 16

Soient \( z_1 \) et \( z_2 \) les solutions de l'équation suivante : \[ 2z^2 - 2(m + 1 + i)z + m^2 + (1 + i)m + i = 0 \text{ où } m \in \mathbb{C}, m \neq 1, i. \] \( \text{Im}(z_1) \times \text{Im}(z_2) = \)

A) \(\frac{1 - m^2}{2}\) B) \(\frac{1 + m^2}{2}\) C) \(\frac{1 - m^2}{4}\) D) \(\frac{1 + m^2}{4}\)

Question 17

La solution \( y(x) \) de l'équation différentielle suivante: \( y'' + y' + \frac{5}{2}y = 0, \, y(0) = -4; \, y'(0) = 6 \) est :

A) \( e^{\frac{x}{2}}\left(-4\cos(\frac{3}{2}x) - \frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2}x)\right) \) B) \( e^{\frac{x}{2}}\left(-4\cos(\frac{3}{2}x) + \frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2}x)\right) \) C) \( e^{\frac{-x}{2}}\left(-4\cos(\frac{3}{2}x) - \frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2}x)\right) \) D) \( e^{\frac{-x}{2}}\left(-4\cos(\frac{3}{2}x) + \frac{8}{3}\sin(\frac{3}{2}x)\right) \)

Question 18

Dans un repère orthonormé, on considère le plan P d'équation cartésienne \( 2x - y - 2z + 2 = 0 \), et la sphère d'équation \( x^2 - 6x + y^2 + z^2 + 10z - 2 = 0 \). Une représentation paramétrique de la droite passant par le centre de la sphère et perpendiculaire au plan P est :

A) \(\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -t \\ z = -5 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}\) B) \(\begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = t \\ z = -5 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}\) C) \(\begin{cases} x = 3 + 2t \\ y = -t \\ z = 5 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}\) D) \(\begin{cases} x = -3 + 2t \\ y = -t \\ z = -5 - 2t \end{cases}, t \in \mathbb{R}\)

Question 19

La première année du cycle préparatoire d'une ENSA comporte 300 élèves ingénieurs. Ils sont inscrits aux clubs des activités de l'École selon la répartition suivante : 60 au club Cyber Sécurité dont 30% sont des filles, 90 au club Sport dont 60 % sont des filles, et 150 au club Environnement dont 72% sont des filles. Chaque élève ingénieur(e) pratique une et une seule activité. On choisit au hasard un(e) élève ingénieur(e). La probabilité que l'élève choisi(e) soit une fille est :

A) 0,4 B) 0,5 C) 0,6 D) 0,7

Question 20

Sachant que l'élève choisi(e) est un garçon, la probabilité qu'il soit inscrit au club Environnement est :

A) 0,25 B) 0,35 C) 0,45 D) 0,55

Concours d'accès en 1^ère année des ENSA Maroc 2022

Épreuve de Mathématiques

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